Question

7．解不等式：
（1）|x²-5x+10|＞x²-8；
（2）|x²-4|≤x+2；
（3）|x+1|＜$\frac{1}{x-1}$；
（4）|x+2|-|x-3|＜4；
（5）|x+3|-|2x-1|＜$\frac{x}{2}$+1．

Answer 1

分析 （1）根据x²-5x+10＞0，可得不等式即 x²-5x+10＞x²-8，由此求得它的解集．
（2）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（3）不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，由此求得它的解集．
（4）由条件利用绝对值的意义求得它的解集．
（5）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵x²-5x+10=${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{15}{4}$＞0，故|x²-5x+10|＞x²-8，
即 x²-5x+10＞x²-8，求得它的解集为{x|x＜$\frac{18}{5}$}．
（2）|x²-4|≤x+2等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{-x-2{≤x}^{2}-4≤x+2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{{x}^{2}-4≥-x-2}\\{{x}^{2}-4≤x+2}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{x≤-2或x≥1}\\{-2≤x≤3}\end{array}\right.$，
求得它的解集为{x|x=-2或1≤x≤3 }．
（3）∵|x+1|＜$\frac{1}{x-1}$，∴x-1＞0，即x＞1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，
求得它的解集为{x|1＜x＜$\sqrt{2}$ }．
（4）由于|x+2|-|x-3|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到3对应点的距离，
而2.5对应点-2对应点的距离减去它到3对应点的距离正好等于4，
故|x+2|-|x-3|＜4的解集为{x|x＞2.5}．
（5）|x+3|-|2x-1|＜$\frac{x}{2}$+1等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-3}\\{-x-3-（1-2x）＜\frac{x}{2}+1}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x＜\frac{1}{2}}\\{x+3-（1-2x）＜\frac{x}{2}+1}\end{array}\right.$②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x+3-（2x-1）＜\frac{x}{2}+1}\end{array}\right.$．
解①求得x＜-3，解②求得-3≤x＜-$\frac{2}{5}$，解③求得x＞2．
综上可得，不等式的解集为{x|x＜-$\frac{2}{5}$，或x＞2}．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．