Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数），
（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜﹣2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+x²，
∴，
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
（2），
令f'（x）=0，由a＜﹣2，x＞0得
①当，即﹣2e²＜a＜﹣2时，f（x）在递减，在递增，
∴当时，．
②当，即a≤﹣2e²时，f（x）在[1，e]递减，
∴当x=e时，f（x）_min=a+e2．
（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x²﹣（a+2）x≤0，
设g（x）=alnx+x²﹣（a+2）x，据题意，
当x∈[1，e]时，g（x）_min≤0，
，
（i）当即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，
∴g（x）_min=g（1）=﹣1﹣a≤0，∴a≥﹣1，
∴﹣1≤a≤2；
（ii）当即2＜a＜2e时，g（x）在递减，递增，
∴，
∵，∴g（x）min＜0，
∴2＜a＜2e符合题意；
（iii）当即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，
∴g（x）_min=g（e）=a+e²﹣（a+2）e=（1﹣e）a+e²﹣2e≤2e（1﹣e）+e²﹣2e=﹣e2＜0，符合题意，
综上可得，a的取值范围是[﹣1，+∞）．