Question

7．如图：在四棱锥E-ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=$\sqrt{3}$，EC⊥BD，底面四边形是个圆内接四边形，且AC是圆的直径．
（1）求证：平面BED⊥平面ABCD；
（2）点P是平面ABE内一点，满足DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值
．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，从而EO⊥AC，EO⊥BD，由此能证明直线EO⊥平面ABCD．即可证明
（2）取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，可得点P在线段MN上．
以O 为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可．

解答 解：（1）证明：连接AC，BD，交于点O，连接EO，
∵AD=AB，CD=CB∴AC⊥BD，
又∵EC⊥DB，EC∩AC=C，故DB⊥面AEC，从而  BD⊥OE，
又AC是直径∴∠ADC=∠ABC=90°，
由AD=$\sqrt{3}$，CD=1可解得，AO=$\frac{3}{2}$，则$\frac{CO}{EO}=\frac{CE}{AC}$，故EO⊥AC；
故EO⊥平面ABCD，平面BED⊥平面ABCD．…（5分）
（2）取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，
则MN∥BE，且MN?平面EBC，∴MN∥平面EBC；
而DN⊥AB，BC⊥AB，∴DN∥BC，且DN?平面EBC，∴DN∥平面EBC．
综上所述，平面DMN∥平面EBC，∴点P在线段MN上．
如图建立空间直角坐标系，则A（$\frac{3}{2}$，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面ABE法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{-\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.$   取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），

设$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MN}$，可得    $\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}λ$，$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}λ$），
设直线DP与平面ABE所成角为θ，则sinθ=$\frac{12}{\sqrt{42}•\sqrt{{λ}^{2}+λ+4}}$．
∵0≤λ≤1∴当λ=0时，sinθ的最大值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．