Question

16．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{NC}$，P是BN上的一点，若$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AC}$，则实数m的值为（　　）

• A． $\frac{9}{11}$
• B． $\frac{2}{11}$
• C． $\frac{3}{11}$
• D． $\frac{1}{11}$

Answer 1

分析 根据P是BN上的一点，设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，把$\overrightarrow{AP}$表示成m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$形式，
利用$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$，列方程组求出m的值．

解答 解：∵P是BN上的一点，
设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，由$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{NC}$，
则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BN}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AN}$
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$λ$\overrightarrow{AC}$
=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{\frac{1}{5}λ=\frac{2}{11}}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{10}{11}$，m=$\frac{1}{11}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的基本定理应用问题，解题的关键是根据平面向量的基本定理构造关于λ，m的方程组．