【题目】已知函数,.
(Ⅰ)若存在单调增区间,求的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,求出的取值范围?若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)对进行求导,存在单调递增区间,转化有正解,分类讨论求的取值范围.
(Ⅱ)方程在内有且只有两个不相等的实数根转化在上存在两个零点,求导,研究单调性,限制端点值及极小值即可得解.
(Ⅰ)由已知,得,且.
则
∵函数存在单调递增区间.
∴,有的解.
①当时,的图象为开口向下的抛物线,要使总有的解,则方程至少有一个不重复正根,而方程总有两个不相等的根时,则必定是两个不相等的正根,故只需,即,即.
②当时,的图象为开口向上的抛物线,一定有的解.
综上,的取值范围是.
(Ⅱ)方程
得为,
等价于方程.
设.于是原方程在区间内根的问题,转化为函数在区间内的零点问题.
当时,,是减函数;
当时,,是增函数;
若在内有且只有两个不相等的零点,只须
解得
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【题目】在中,已知,,D是边AC上的一点,将沿BD折叠,得到三棱锥,若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上,设,则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
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【题目】若在两个成语中,一个成语的末字恰是另一成语的首字,则称这两个成语有顶真关系,现从分别贴有成语“人定胜天”、“争先恐后”、“一马当先”、“天马行空”、“先发制人”的5张大小形状完全相同卡片中,任意抽取2张,则这2张卡片上的成语有顶真关系的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点.(1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率;
(2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为,证明是定值.
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【题目】某班随机抽查了名学生的数学成绩,分数制成如图的茎叶图,其中组学生每天学习数学时间不足个小时,组学生每天学习数学时间达到一个小时,学校规定分及分以上记为优秀,分及分以上记为达标,分以下记为未达标.
(1)根据茎叶图完成下面的列联表:
达标 | 未达标 | 总计 | |
组 | |||
组 | |||
总计 |
(2)判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.
参考公式与临界值表:,其中.
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