Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点.(1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；

(2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为,证明是定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.

详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.

所以椭圆.

（1）设，，则

两式相减得，

又的中点为，所以，.

所以.

显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.

（2）椭圆右焦点.

当直线的斜率不存在或者为时，.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，

设，，联立方程得

消去并化简得，

因为，

所以，.

所以，

同理可得.

所以为定值.