Question

已知函数f（x）=（

x

a+1

-1）^k+（

a

x

-1）^k（x＞0，a＞0，k∈N^*），
（1）当k=1时，求函数的最小值；
（2）当k=2时，记函数的最小值为g（a），若g（a）≤

2

3

，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式，（2）先化简，讨论，利用基本不等式和函数的单调性．

解答： 解：（1）当k=1时，函数f（x）=（

x

a+1

-1）+（

a

x

-1）
=

x

a+1

+

a

x

-2≥2

a a+1

-2，
（当且仅当

x

a+1

=

a

x

，x=

a(a+1)

时，等号成立）
即函数的最小值为2

a a+1

-2．
（2）当k=2时，函数f（x）=（

x

a+1

-1）²+（

a

x

-1）²
=（

x

a+1

）²-2

x

a+1

+1+（

a

x

）²-2

a

x

+1
=（

x

a+1

）²+（

a

x

）²-2（

x

a+1

+

a

x

）+2
=（

x

a+1

+

a

x

）²-2（

x

a+1

+

a

x

）+2-2

a

a+1

=（

x

a+1

+

a

x

-1）²+1-2

a

a+1

，
∵

x

a+1

+

a

x

≥2

a a+1

（当且仅当

x

a+1

=

a

x

，x=

a(a+1)

时，等号成立），
①当2

a a+1

≤1，即0＜a≤

1

3

时，
g（a）=f（x）_min=1-2

a

a+1

≤

2

3

，
解得，0＜a≤

1

5

．
①当2

a a+1

＞1，即a＞

1

3

时，
g（a）=f（x）_min=（2

a a+1

-1）²+1-2

a

a+1

≤

2

3

，
化简得，（

a a+1

-1）²≤

1

3

，
即

a a+1

＞1-

3

3

，
解得，a＞

1

3

．
综上所述，实数a的取值范围为（0，

1

5

]∪（

1

3

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性与最值，同时考查了基本不等式和分类讨论的思想．