Question

已知向量

a

=（x，

3

y），

b

=（1，0），且（

a

+

3

b

）•（

a

-

3

b

）=0．
（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合（

a

+

3

b

）•（

a

-

3

b

）=0，即可求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，设弦MN的中点为P，利用|AM|=|AN|，AP⊥MN，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意向量

a

=（x，

3

y），

b

=（1，0），且（

a

+

3

b

）•（

a

-

3

b

）=0，
∴(x+

3

)(x-

3

)+

3

y•

3

y=0，
化简得

x2

3

+y2=1，
∴Q点的轨迹C的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m²＜3k²+1．①…（6分）
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x_P，y_P），x_M、x_N分别为点M、N的横坐标，则xP=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，
从而yP=kxP+m=

m

3k2+1

，kAP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

，…（8分）
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1，②
将②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k2=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，
故所求的m的取值范围是（

1

2

，2）．…（10分）
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m²＜3k²+1，
解得-1＜m＜1．…（12分）
综上，当k≠0时，m的取值范围是（

1

2

，2），
当k=0时，m的取值范围是（-1，1）．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．