Question

【题目】已知椭圆经过点，离心率为，动点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明：线段的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）线段的长为定值.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据离心率，且过点，解方程组得：

， ，所以椭圆方程为．（Ⅱ）以根据平面几何得知识，利用弦心距、半弦长、半径构成直角三角形可求半径． （Ⅲ）过点作的垂线，垂足设为，由平面几何知： ,根据直线与圆锥曲线的位置关系得： ，所以线段的长为定值．

试题解析：（Ⅰ）由题意得，①

因为椭圆经过点，所以，②

又，③

由①②③解得， ，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）以为直径的圆的圆心为，半径，

方程为，

因为以为直径的圆被直线截得的弦长为2，

所以圆心到直线的距离．

所以，解得，

所求圆的方程为．

（Ⅲ）过点作的垂线，垂足设为，由平面几何知： ．

则直线： ，直线： ，

由得，

∴，

所以线段的长为定值．