Question

17．（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，并指出此不等式里等号成立的条件：
（2）用柯西不等式求函数y=2$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{5-x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可证明不等式；
（2）利用柯西不等式，可得$y=2×\sqrt{x-3}+4×\sqrt{5-x}≤\sqrt{（{2^2}+{4^2}）[{{（\sqrt{x-3}）}^2}+{{（\sqrt{5-x}）}^2}]}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=a²d²+b²c²-2adbc…（2分）
=（ad-bc）²≥0，…（4分）
当且仅当ad-bc=0时，等号成立．…（5分）
（2）解：函数的定义域为[3，5]，且y＞0，…（6分）
则$y=2×\sqrt{x-3}+4×\sqrt{5-x}≤\sqrt{（{2^2}+{4^2}）[{{（\sqrt{x-3}）}^2}+{{（\sqrt{5-x}）}^2}]}$…（8分）
=$\sqrt{20×2}=2\sqrt{10}$，…（9分）
当且仅当$2\sqrt{5-x}=4\sqrt{x-3}$时，等号成立，
即$x=\frac{17}{5}$时函数取最大值$2\sqrt{10}$．…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，属于中档题．