Question

已知函数①f（x）=x²；②f（x）=e^x；③f（x）=lnx；④f（x）=cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个x₁都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立的函数是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：对于函数①③④，可以采用反例法进行否定，对于函数②，可以直接推导命题成立．

解答： 解：对于函数①，取x₁=2，则有x2=-

2

2

或

2

2

与之对应，不惟一，故①不符题意；
对于函数③取x₁=1，此时f（x₁）=0，则不存在x₂，使f（x₁）f（x₂）=1，故③不符题意；
对于函数④取x₁=0，则当x₂=2kπ，k∈Z时，有无数多个x₂，使得使f（x₁）f（x₂）=1成立，故④不符题意；
对于函数②，定义域为R，任取x₁，有ex1＞0恒成立，取x₂使得ex1•ex2=1，则ex1+x2=1，
所以x₁+x₂=0，所以x₂=-x₁∈R，且唯一．
故答案为：②．

点评：在选择或填空题中，对于一些全称命题的真假判断，往往采用反例法进行否定．