Question

16．已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a₇=a₃+8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{{a}_{7}-{a}_{3}}{4}$可得公差，通过a₂=3可得首项，进而可得结论；
（2）通过a_n=2n-1可知b_n=$\frac{1}{2}$•4ⁿ+2n，即所求值为以首项、公比均为4的等比数列的前n项和的一半与以首项、公差均为1的等差数列的前n项和的2倍的和，计算即可．

解答 解：（1）∵a₇=a₃+8，
∴公差d=$\frac{{a}_{7}-{a}_{3}}{4}$=$\frac{8}{4}$=2，
又∵a₂=3，
∴a₁=a₂-d=3-2=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2^2n-1+2n=$\frac{1}{2}$•4ⁿ+2n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+2•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{2}{3}•{4}^{n}+{n}^{2}+n-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，属于中档题．