Question

已知f（x）=

ex-1，x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，则方程f（x）-x=0在区间[0，5）上所有实根和为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：由于x≤0时，f（x）=e^x-1，分别求出0＜x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3，3＜x≤4，4＜x≤5，时的函数f（x）的表达式，在同一坐标系中，画出y=f（x）（0≤x＜5）的图象和直线y=x，通过图象观察得到交点的横坐标为0，1，2，3，4，故和为10．

解答： 解：由于x≤0时，f（x）=e^x-1，
当0＜x≤1，-1＜x-1≤0，则f（x）=f（x-1）+1
=e^x-1-1+1=e^x-1；
当1＜x≤2时，0＜x-1≤1，f（x）=f（x-1）+1=e^x-2+1；
当2＜x≤3，1＜x-1≤2，f（x）=f（x-1）+1=e^x-3+2；
当3＜x≤4，2＜x-1≤3，f（x）=e^x-4+3；
当4＜x≤5，f（x）=e^x-5+4．
在同一坐标系中，画出y=f（x）（0≤x＜5）的图象和
直线y=x，
由图象可知：方程f（x）-x=0在区间[0，5）上所有实根为0，1，2，3，4，故和为10．
故答案为：10

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的图象和方程的根的问题转化为函数图象交点问题，是一道中档题．