Question

已知{a_n}为正项等比数列，a₂=3，a₆=243，S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用正项等比数列的性质，结合已知条件列出方程组，求出首项和公比，由此能求出an=3n-1．利用等差数列的前n项和公式由已知条件求出公差，由此能求出等差数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）知a_nb_n=（2n+1）•3^n-1，由此利用错位相减法能求出T_n=n•3ⁿ．

解答： 解：（1）∵{a_n}为正项等比数列，a₂=3，a₆=243，
∴

a1q=3 a1q5=243

，解得a₁=1，q=3，或a₁=-1，q=-3（舍），
∴an=3n-1．
∵S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35，
∴5×3+

5×4

2

d=35，解得d=2，
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）由（1）知a_nb_n=（2n+1）•3^n-1，
∴T_n=3+5×3+7×3²+9×3³+…+（2n+1）×3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+9×3⁴+…+（2n+1）×3ⁿ．②
①-②，得-2T_n=3+2（3+3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ
=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）×3ⁿ
=-2n×3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．