Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若函数y=f（x）-t有零点，求t的最小值；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件得f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，当x∈（0，+∞）时，lna与a^x-1同号，由此能证明f（x）在R上单调递增．
（2）f′（x）=0有唯一解0，列表讨论能求出使函数y=f（x）-t有零点的t的最小值． 
（3）当x∈[-1，1]时，|（f（ x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，由此利用已知条件进行分类讨论，能求出a的取值范围．

解答： （1）证明：∵f（x）=a^x+x²-xlna，
∴f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
∵0＜a＜1或a＞1，
∴当x∈（0，+∞）时，lna与a^x-1同号，
∴f′（x）＞0，∴函数在（0，+∞）上单调递增．
（2）解：当a＞0，a≠1时，f′（0）=0，
设g（x）=2x+（a^x-1）lna，g′（x）=2+a^x（lna）²＞0，
则f（x）在R上单调递增，
∴f′（x）=0有唯一解0，
且x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴f（x）_min=f（0）=1，即使函数y=f（x）-t有零点的t的最小值是1． 
（3）解：∵x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
∴当x∈[-1，1]时，|（f（ x））_max-（f（x））_min|
=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1，
由（2）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴当x∈[-1，1]时，（f（x））_{mi n}=f（0）=1，
（f（x））_max={f（-1），f（1）}max，
而f（1）-f（-1）=（a+1-ln a）-（

1

a

+1+ln a）=a-

1

a

-2ln a，
记g（t）=t-

1

t

-2ln t（t＞0），
∵g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=（

1

t

-1）²≥0（当t=1时取等号），
∴g（t）=t-

1

t

-2ln t在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
∴当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（-1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（-1）
①当a＞1时，由f（1）-f（0）≥e-1，a-lna≥e-1，a≥e．
②当0＜a＜1时，由f（-1）-f（0）≥e-1+lna≥e-1，0＜a≤

1

e

，
综上知，所求a的取值范围为（0，

1

e

]∪[e，+∞）．

点评：本题考查函数是增函数的证明，考查最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．