Question

如图，已知在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（1）求证：平面D₁FB⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱锥D₁-BDF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由底面是菱形，证明AC⊥面BDD₁B₁，再证MF⊥面BDD₁B₁，即证平面D₁FB⊥平面BDD₁B₁；
（2）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面ADD₁A₁，从而BH是三棱锥B-DD₁F的高，求出△DD₁F的面积，计算出三棱锥D₁-BDF的体积．

解答： 解：（1）证明：∵底面是菱形，
∴AC⊥BD；
又∵B₁B⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴AC⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥面BDD₁B₁
又∵MF∥AC，
∴MF⊥面BDD₁B₁；
又∵MF?平面D₁FB，
∴平面D₁FB⊥平面BDD₁B₁；
（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵AA₁⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD，
∴BH⊥AA₁，
∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁内的相交直线，
∴BH⊥平面ADD₁A₁，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=AD=1，
∴BH=ABsin60°=

3

2

，
∴三棱锥D₁-BDF的体积为
V=V三棱锥B-D1DF=

1

3

×S_△DD1F•BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

．

点评：点评：本题考查了空间中的垂直关系的证明问题与求锥体的条件问题，解题时应借助于几何图形进行解答，是易错题．