Question

如图，在△ABC中，点D在边BC上，且

DC

=2

BD

（1）用向量

AB

，

AC

表示向量

AD

；
（2）若|

AB

|：|

AD

|：|

AC

|=3：k：1，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的三角形法则可得

BD

=

AD

-

AB

，

DC

=

AC

-

AD

，又

DC

=2

BD

，即可得出；
（2）由于|

AB

|：|

AD

|：|

AC

|=3：k：1，不妨取|

AB

|=3，|

AD

|=k，|

AC

|=1，设∠BAC=θ．由（1）可得：k²=|

AD

|2=

1

9

AC

2+

4

9

AB

2+

4

9

AC

•

AB

=

37+12cosθ

9

，再利用-1＜cosθ＜1即可得出．

解答： 解：（1）∵

BD

=

AD

-

AB

，

DC

=

AC

-

AD

，

DC

=2

BD

，
∴

AC

-

AD

=2(

AD

-

AB

)，化为

AD

=

1

3

AC

+

2

3

AB

．
（2）∵|

AB

|：|

AD

|：|

AC

|=3：k：1，∴不妨取|

AB

|=3，|

AD

|=k，|

AC

|=1，
设∠BAC=θ．
由（1）可得：k²=|

AD

|2=

1

9

AC

2+

4

9

AB

2+

4

9

AC

•

AB

=

1

9

+

4

9

×32+

4

9

×1×3cosθ=

37+12cosθ

9

，
由于-1＜cosθ＜1，
∴

25

9

＜

37+12cosθ

9

＜

49

9

，
∴

5

3

＜k＜

7

3

．
∴实数k的取值范围是(

5

3

，

7

3

)．

点评：本题考查了向量的三角形法则、数乘运算、数量积的性质、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．