Question

已知函数f（x）=axlnx（a∈R）在x=e处的切线斜率为2．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设A（x₁，f（x₁））与B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）是函数y=f（x）图象上的两点，直线AB的斜率为k，函数f（x）的导函数为f′（x），若存在x₀＞0，使f′（x₀）=k．求证：x₂＞x₀．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由f′（e）=2可得a，利用导数即可求得最小值；
（2）利用斜率公式、导数可表示f′（x₀）=k，分离出lnx₀，作差lnx₂-lnx₀，通过构造函数借助导数可得差的符号，从而得到结论；

解答： 解：（1）f′（x）=a（lnx+1），
由题意，得f′（e）=2，即2a=2，
∴a=1．
当0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞

1

e

时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
（2）k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

，f′(x0)=1+lnx0，
由f′(x0)=k⇒

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

=1+lnx0⇒lnx0=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

-1，
∴lnx2-lnx0=lnx2+1-

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

=

x1(lnx2-lnx1)+x1-x2

x1-x2

=

ln x2 x1 +1- x2 x1

1- x2 x1

，
令

x2

x1

=t(t＞1)，则lnx2-lnx0=

lnt+1-t

1-t

(t＞1)，
设g（t）=lnt+1-t（t＞1），
∴g′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

＜0，g（t）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（t）＜g（1）=0，
又1-t＜0，
∴

lnt+1-t

1-t

＞0，即lnx₂-lnx₀＞0，从而x₂＞x₀．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值及斜率公式，解决（2）问的关键是合理变形，灵活构造函数．