Question

已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），知g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，由此能求出g（x）的值域．
（2）设m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，由此能推导出满足条件的a不存在．

解答： 解：（1）∵g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），
∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，
且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e，
∴g（x）的值域为（0，1]．
（2）设m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，
原问题等价于：对任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，
∵f′（x）=a-

1

x

，（1≤x≤e），其中

1

x

∈[

1

e

，1]，
①当a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意．
②当a≤

1

e

时，f′（x）＜0，f（x）在区间[1，e]上单调递减，不合题意．
③当1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1时，f（x）在区间[1，

1

a

]上单调递减；f（x）在区间[

1

a

，e]上单递增，
由上可得a∈（

1

e

，1），此时必有f（x）的最小值小于等于0，且f（x）的最大值大于等于1，
而由f（x）_min=f（

1

a

）=2+lna≤0，可得a≤

1

e2

＜

1

e

，则a∈∅．
综上，满足条件的a不存在．

点评：本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．