Question

已知定点A（1，0），B （2，0）．动点M满足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，
（1）求点M的轨迹C；
（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求得x和y的关系．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由两个三角形同底，令λ=

S△OBE

S△OBF

，则λ=

|BE|

|BF|

，由此可得

BE

=λ

BF

，只要求得λ即可．

解答： 解：（1）设M（x，y），则

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，
整理，得

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’方程为my=x-2①，将①代入

x2

2

+y2=1，整理，得（m²+1）y²+4my+2=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则

y1+y2= 2 m2+1 y1y2=- 4m m2+1

②；△＞0得m²＞1（7分）
令λ=

S△OBE

S△OBF

，则λ=

|BE|

|BF|

，由此可得

BE

=λ

BF

，λ=

y1

y2

，且0＜λ＜1．
∴λ+

1

λ

=

y1

y2

+

y2

y1

=

y 2 1 + y 2 2

y1y2

=

(y1+y2)2

y1y2

-2=

8m2

m2+1

-2=6-

8

m2+1

（10分）
∵m²＞1，∴2＜λ+

1

λ

＜6，解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

  且λ≠1（12分）
又∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1，
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3-2

2

，1）．（13分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．