Question

己知函数f（x）=|x³+a|，a∈R在[-1，1]上的最大值为M（a），若函数g（x）=M（x）-|x²+t|有4个零点，则实数t的取值范围为．（　　）

• A、（1，

  5

  4

  ）
• B、（-∞，-1）
• C、（-∞，-1）∪（1，

  5

  4

  ）
• D、（-∞，-1）∪（1，2）

Answer 1

分析：根据条件求出函数M（a）的表达式，然后由g（x）=0得M（x）=|x²+t|，利用函数g（x）=M（x）-|x²+t|有4个零点，建立条件关系即可求出t的取值范围．

解答：解：当a=0时，f（x）=|x³+a|=|x³|为偶函数，此时最大值为M（a）=M（-1）=M（1），
当a＞0时，函数在[-1，1]上的最大值为M（a）=f（1）=|1+a|=a+1，
当a＜0时，函数在[-1，1]上的最大值为M（a）=f（-1）=|-1+a|=1-a，
即M（a）=

a+1，a≥0 1-a，a＜0

．
∴M（x）=

x+1，x≥0 1-x，x＜0

．
由g（x）=M（x）-|x²+t|=0得M（x）=|x²+t|，
设函数M（x），m（x）=|x²+t|，
作出两个函数的图象如图：
①若t≤0，要使g（x）=M（x）-|x²+t|有4个零点，
则两个图象的交点个数有4个，此时满足m（0）＞M（0），
即|t|＞1，解得t＜-1．
②若t＞0，则m（x）=|x²+t|=x²+t，
当抛物线过点（0，1）时，t=1．
当抛物线与直线相切时，当x＞0时，
由

y=x+1 y=x2+t

，此时x²-x+（t-1）=0，
由判别式△=1-4（t-1）=5-4t=0，
解得t=

5

4

．
要使g（x）=M（x）-|x²+t|有4个零点，
则两个图象的交点个数有4个，此时满足
1＜t＜

5

4

．
综上t＜-1或1＜t＜

5

4

．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，根据条件求出M（a）的表达式是本题的难点．注意对t要进行分类讨论．综合性较强，难点交大．