Question

已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3

(1)当a=4，2≤x≤5时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)当xÎ[1,2]时，f(x)≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)当a=4时，f(x)=x|x-4|+2x-3；①当2≤x＜4时，f(x)=x(4-x)+2x-3=-x²+6x-3，

当x=2时，f(x)_min=5；当x=3时，f(x)_max=6               2分②当4≤x≤5时，f(x)=x(x-4)+2x-3=x²-2x-3＝(x-1)²-4，当x=4时，f(x)_min=5；当x=5时，f(x)_max=12               4分

综上可知，函数f(x)的最大值为12，最小值为5．            6分

(2)若x≥a,原不等式化为f(x)= x²-ax≤1，即a≥x-在xÎ[1,2]上恒成立，∴a≥(x-)_max，即a≥．    若x＜a,原不等式化为f(x)=-x²+ax≤1，即a≤x+在xÎ[1,2]上恒成立，∴a≤(x-)_min，即a≤2．   10分

综上可知，a的取值范围为≤a≤2．   12分