【题目】在四边形中,
,
;如图,将
沿
边折起,连结
,使
,求证:
(1)平面平面
;
(2)若为棱
上一点,且
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)由题可知,等腰直角三角形与等边三角形
,在其公共边AC上取中点O,连接
、
,可得
,可求出
.在
中,由勾股定理可证得
,结合
,可证明
平面
.再根据面面垂直的判定定理,可证平面
平面
.
(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,由点F在线段
上,设
,得出
的坐标,进而求出平面
的一个法向量
.用向量法表示出
与平面
所成角的正弦值,由其等于
,解得
.再结合
为平面
的一个法向量,用向量法即可求出
与
的夹角,结合图形,写出二面角
的大小.
证明:(1)在中,
为正三角形,且
在中,
为等腰直角三角形,且
取的中点
,连接
,
,
,
平面
平面
平面
..平面平面
(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
设.则
设平面的一个法向量为
.则
,
令,解得
与平面
所成角的正弦值为
,
整理得
解得或
(含去)
又为平面
的一个法向量
,
二面角的大小为
.
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【题目】已知,
且
,圆
,点
,
是圆
上的动点,线段
的垂直平分线交直线
于点
,点
的轨迹为曲线
.
(1)讨论曲线的形状,并求其方程;
(2)若,且
面积的最大值为
,直线
过点
且不垂直于坐标轴,
与曲线
交于
,点
关于
轴的对称点为
.求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】如图是1990年-2017年我国劳动年龄(15-64岁)人口数量及其占总人口比重情况:
根据图表信息,下列统计结论不正确的是( )
A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大
B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势
C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值
D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过
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【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,其前
项和为
,
且,
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列满足
,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数,使得
,
,
成等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数),设直线
与
的交点为
,当
变化时点
的轨迹为曲线
.
(1)求出曲线的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,点
为曲线
上的动点,求点
到直线
的距离的最大值.
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【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A.若“”为真命题,则“
”为真命题
B.命题“”的否定是“
”
C.命题“若,则
”的逆否命题为真命题
D.“”是“
”的必要不充分条件
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【题目】已知函数其中a为常数,设e为自然对数的底数.
(1)当时,求
过切点为
的切线方程;
(2)若在区间
上的最大值为
,求a的值;
(3)若不等式恒成立,求a的取值范围.
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