Question

【题目】已知，且，圆，点，是圆上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹为曲线.

（1）讨论曲线的形状，并求其方程；

（2）若，且面积的最大值为，直线过点且不垂直于坐标轴，与曲线交于，点关于轴的对称点为．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）当时，曲线是椭圆,其方程为；当时曲线是双曲线,其方程为；（2）证明详见解析，定点坐标.

【解析】

（1）分点在圆内和点在圆外两种情况讨论，两者都可以利用圆锥曲线的定义得到相应的曲线方程.

（2）设，，则直线与轴交点的横坐标为，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得为定值，从而可证直线过定点.

当时，点在圆内，，

故曲线是以为焦点，以为长轴长的椭圆，其方程为.

当时，点在圆外，，

曲线是以为焦点，以为实轴长的双曲线，其方程为.

综上，当时，曲线是椭圆,其方程为；当时曲线是双曲线,其方程为；

（2）由面积有最大值为知，曲线只可能是椭圆，

由椭圆几何性质知，当位于短轴端点时其面积有最大值，因，

故其短半轴长为，又因焦距为2，

故曲线的方程为.

设，，则，

联立，消去得：，

，

直线，

由椭圆的对称性知，若直线过定点，则该定点必在轴上，

故令得：，

所以直线过定点.