Question

14．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=5，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的正切值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据条件进行向量数量积的运算便可得出$4+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=5$，从而得出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞的值，进而得出tan$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$4+2•1cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=5$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$；
∴$tan＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念及范围，已知三角函数值求角．