Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点$（\frac{3}{2}，0）$的距离与到直线$x=-\frac{3}{2}$的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上的两个动点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）依题意，曲线C是以F$（\frac{3}{2}，0）$为焦点，直线$x=-\frac{3}{2}$为准线的抛物线，由此可求曲线E的方程；
（2）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）^{2}（12-{{y}_{0}}^{2}）}$，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论．

解答 解：（1）∵曲线C上任意一点到点$（\frac{3}{2}，0）$的距离与到直线$x=-\frac{3}{2}$的距离相等，
∴曲线C是以F$（\frac{3}{2}，0）$为焦点，直线$x=-\frac{3}{2}$为准线的抛物线．
∴曲线C的方程为y²=6x．
（2）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），则x₀=2，y₁+y₂=2y₀，∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{3}$（x-2）．
令y=0，得x=5，故C（5，0）为定点．
又直线AB的方程为y-y₀=$\frac{3}{{y}_{0}}$（x-2），与y²=6x联立，消去x得y²-2y₀y+2y₀²-12=0．
由韦达定理得y₁+y₂=2y₀，y₁y₂=2y₀²-12．
∴|AB|=$\frac{2}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$
∵点C到直线AB的距离为h=|CM|=$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）^{2}（12-{{y}_{0}}^{2}）}$
令t=9+y₀²（t＞9），则12-y₀²=21-t
设f（t）=（9+y₀²）²（12-y₀²）=t²（21-t）=-t³+21t²，∴f′（t）=-3t（t-14）
当9＜t＜14时，f′（t）＞0；当t＞14时，f′（t）＜0．
∴f（t）在（9，14）上单调递增，在（14，+∞）上单调递减．
∴当t=14时，[f（t）]_max=14²×7．故△ABC面积的最大值为$\frac{14}{3}\sqrt{7}$．（13分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算及最值的求解，属于中档题．