Question

9．设函数f（x）的导函数为f′（x），且$ef（x）-{f^'}（1）{e^x}+ef（0）x-\frac{1}{2}e{x^2}=0$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程$f（x）-\frac{1}{2}{x^2}-m=0$在区间[-1，2]上恰有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出f（0），f′（1）的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）问题化为m=e^x-x，x∈[-1，2]，令h（x）=e^x-x，x∈[-1，2]，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-f（0）x+\frac{1}{2}{x^2}$，
∴$f'（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-f（0）+x$，…（2分）
∴f'（1）=f'（1）-f（0）+1，
∴f（0）=1，…（3分）
∴$f（x）=\frac{f'（1）}{e}{e^x}-x+\frac{1}{2}{x^2}$，
∴$f（0）=\frac{f'（1）}{e}-0+0$，
∴f'（1）=e．…（4分）
可得：$f（x）={e^x}-x+\frac{1}{2}{x^2}$．…（6分）
（2）由$f（x）-\frac{1}{2}{x^2}-m=0$，化为m=e^x-x，x∈[-1，2]．
令h（x）=e^x-x，x∈[-1，2]，
∴h'（x）=e^x-1，…（7分）
令h'（x）＞0，解得0＜x≤2，此时函数h（x）单调递增；
令h'（x）＜0，解得-1≤x＜0，此时函数h（x）单调递减．…（8分）
∴当x=0时，函数h（x）取得最小值，h（0）=1．…（9分）
而$h（-1）=1+\frac{1}{e}，\;\;h（2）={e^2}-2$．…（10分）∵$1+\frac{1}{e}＜{e^2}-2$．
又∵方程$f（x）-\frac{1}{2}{x^2}-m=0$在区间[-1，2]上恰有两个不同的实根，
∴$1＜m≤1+\frac{1}{e}$，
∴实数m的取值范围是$（{1，\;\;1+\frac{1}{e}}]$．…（12分）

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．