Question

1．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（2）=1，且对任意的x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（xy）．
（1）计算f（1），f（4）；
（2）解不等式f（x）-f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1计算f（1），令x=y=2计算f（4）；
（2）不等式等价于f（x）≤f（4x-12），再利用f（x）的单调性列出不等式解出x．

解答 解：（1）令x=y=1得f（1）+f（1）=f（1），∴f（1）=0，
令x=y=2得f（4）=2f（2）=2，
（2）∵f（x）-f（x-3）≤2，∴f（x）≤f（4）+f（x-3）=f（4x-12），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴x≥4x-12＞0，
解得3＜x≤4．
∴不等式f（x）-f（x-3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．

点评 本题考查了函数单调性的应用，属于中档题．