试题分析:.解:(Ⅰ)
, 1分
, 2分
因为曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行
所以
, 3分
所以
. 4分
(Ⅱ)令
, 5分
即
,所以
或
. 6分
因为a>0,所以
不在区间(a,a
2-3)内,
要使函数在区间(a,a
2-3)上存在极值,只需
. 7分
所以
. 9分
(Ⅲ)证明:令
,所以
或
.
因为a>2,所以2a>4, 10分
所以
在(0,2)上恒成立,函数f(x)在(0,2)内单调递减.
又因为
,
, 11分
所以f(x)在(0,2)上恰有一个零点. 12分
点评:主要考查了导数在研究函数中的运用,属于基础题。