Question

10．已知命题p：函数f（x）=log_a|x|在（0，+∞）上单调递增；命题q：关于x的方程x²+2x+$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$=0的解集只有一个子集．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意分别可得pq为真时a的范围，由p∨q为真，p∧q为假可得p和q中一真一假，分类可求a的范围，综合可得．

解答 解：当命题p是真命题时，a＞1，
当命题q是真命题时，关于x的方程x²+2x+$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$=0无解，
∴△=4-4$lo{g}_{a}\frac{1}{2}$＜0，解得$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p和q中一真一假，
当p假q真时，可得$\frac{1}{2}$＜a＜1；
p真q假时，可得a＞1，
综上可得实数的取值范围是a＞1或$\frac{1}{2}$＜a＜1．

点评 本题考查复合命题的真假，涉及集合的运算，属基础题．