Question

15．已知曲线f（x）=x³-（a+b）x²+abx（0＜a＜b）在x=1处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，得到方程，解方程可得a=1，b=2；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式和导数，求得极值点和极值，再求端点处的函数值，即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-（a+b）x²+abx（0＜a＜b）的导数为
f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
由题意可得在x=1处的切线斜率为3-2（a+b）+ab=-1，
又切点为（1，0），则1-a-b+ab=0，
解得a=1，b=2；
（Ⅱ）f（x）=x³-3x²+2x，
f′（x）=3x²-6x+2，
令f′（x）=0解得x=1±$\frac{\sqrt{3}}{3}$∈[0，3]，
由f（0）=0，f（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，f（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，f（3）=6．
即有f（x）的最大值为6，最小值为-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，同时考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．