Question

从x轴上一点A分别向函数f（x）=-x³与函数g（x）=

2

|x|3+x3

引不是水平方向的切线L₁和L₂分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为S₁，△OAC的面积为S₂，则S₁+S₂的最小值为

 

．

Answer 1

考点：导数的几何意义,不等式的综合

专题：计算题,导数的综合应用

分析：设点A（a，0），点B（0，b）和点C（0，c）．对函数求导，求切线方程．利用不等式求最值．

解答： 解：设点A（a，0），点B（0，b）和点C（0，c）．
g（x）=

2

|x|3+x3

=

1

x3

=x^-3（x＞0），
则g′（x）=-3x^-4；
设切线L₂与函数g（x）的图象相切于点（m，m^-3）
则y-m^-3=-3m^-4（x-m）；
即y═-3m^-4x+4m^-3；
代入（a，0）得，
0=-3m^-4a+4m^-3；
则m=

3a

4

（a＞0），
则c=4m^-3=4（

3a

4

）^-3  
同理，b=（

3a

2

）³
则S₁+S₂=

1

2

（4（

3a

4

）^-3+2（

3a

2

）³）a
=

128

27a2

+

27a4

8

=

64

27a2

+

64

27a2

+

27a4

8

≥3

3	64 27a2 64 27a2 27a4 8

=3•

3	64•64•27 27•27•8

=3•

8

3

=8
（当且仅当

64

27a2

=

27a4

8

，即a=

2 2

3

时，等号成立）

点评：本题考查了函数切线的求法，及不等式的应用，相对化简较难，计算量比较大，做题一定要细致．