Question

10．已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，给出下列命题：
①若{a_n}是等差数列，则$（{10，\frac{{{S_{10}}}}{10}}），（{100，\frac{{{S_{100}}}}{100}}），（{110，\frac{{{S_{110}}}}{110}}）$三点共线；
②若{a_n}是等差数列，则${S_m}，{S_{2m}}-{S_m}，{S_{3m}}-{S_{2m}}（{m∈{N^*}}）$；
③若${a_1}=1，{S_{n+1}}=\frac{1}{2}{S_n}+2$，则数列{a_n}是等比数列；
④若${a_{n+1}}^2={a_n}{a_{n+2}}$，则数列{a_n}是等比数列．
其中证明题的序号是①②．

Answer 1

分析 ①根据等差数列的前n项和公式和和一次函数的性质进行判断；
②若{a_n}是等差数列，利用等差数列前n项和公式，求出S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）即可判断是否是等差数列；
③首先，根据所给关系式，得到a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{3}{4}$，从而很容易判断该数列不是等比数列．
④根据等比数列的性质和递推公式进行判断．

解答 解：①∵等差数列{a_n}前n项和为S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=（a₁-$\frac{d}{2}$）+$\frac{d}{2}$n，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}关于n的一次函数（d≠0）或常函数（d=0），故$（{10，\frac{{{S_{10}}}}{10}}），（{100，\frac{{{S_{100}}}}{100}}），（{110，\frac{{{S_{110}}}}{110}}）$三点共线，正确；
②设等比数列{a_n}的公差为d，A=S_m，B=S_2m-S_m，C=S_3m-S_2m则
B=S_2m-S_m=a_m+1+a_m+2+…+a_2m，C=S_3m-S_2m=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m，
则B-A=a_m+1+a_m+2+…+a_2m-（a₁+a₂+…+a_m）=m²d，
C-B=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m-（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）=m²d，
则B-A=C-B，即A，B，C成等差数列，
即${S_m}，{S_{2m}}-{S_m}，{S_{3m}}-{S_{2m}}（{m∈{N^*}}）$成等比数列，正确；
③∵S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，a₁=1，
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₁+2，
解得a₂=$\frac{3}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂）+2，即1+$\frac{3}{2}$+a₃=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2}$）+2，
解得a₃=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$≠$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，
∴数列{a_n}不是等比数列，错误；
④当a_n=0时，${a_{n+1}}^2={a_n}{a_{n+2}}$成立，但是数列{a_n}不是等比数列，错误；
故答案是：①②．

点评 本题考查等差数列、等比数列的基本性质，通过对数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．