Question

8．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=4cx（其中c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）交于A，B两点，若|AB|=4c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 由双曲线和抛物线关于x轴对称，可设A的纵坐标为2c，代入抛物线的方程可得，A的横坐标为c，代入双曲线的方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由双曲线和抛物线关于x轴对称，
可设A的纵坐标为2c，代入抛物线的方程可得，
A的横坐标为$\frac{4{c}^{2}}{4c}$=c，
将A（c，2c）代入双曲线的方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由e=$\frac{c}{a}$和c²=a²+b²，
可得e²-$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，即为e⁴-6e²+1=0，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$（3-2$\sqrt{2}$舍去），
解得e=1+$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查离心率的求法，注意运用对称性确定A的坐标是解题的关键，属于中档题．