Question

14．为了研究数学、物理学习成绩的关联性，某位老师从一次考试中随机抽取30名学生，将数学、物理成绩进行统计，所得数据如表，其中数学成绩在120分以上（含120分）为优秀，物理成绩在80分以上（含80分）为优秀．

编号	数学成绩xi	物理成绩yi	编号	数学成绩xi	物理成绩yi	编号	数学成绩xi	物理成绩yi
1	108	82	11	124	80	21	122	64
2	112	76	12	136	86	22	136	82
3	130	78	13	127	83	23	114	84
4	132	91	14	80	73	24	121	80
5	108	68	15	138	81	25	88	52
6	140	88	16	141	91	26	142	83
7	143	92	17	109	85	27	125	69
8	99	72	18	100	80	28	135	90
9	106	84	19	92	73	29	112	82
10	120	77	20	132	82	30	128	92

（1）根据表格完成下面2×2的列联表：

	数学成绩不优秀	数学成绩优秀	合计
物理成绩不优秀
物理成绩优秀
合计

（2）若这一次考试物理成绩y关于数学成绩x的回归方程为$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，
由图中数据计算成$\overline{x}$=120，$\overline{y}$=80，$\sum_{i=1}^{n}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=2736，$\sum_{i=1}^{n}$（x_i-$\overline{x}$）²=8480，若y关于x的回归方程，据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高多少分？（精确到0.1）．
附1：独立性检验：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.050	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

附2：若（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n）为样本点，$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$为回归直线，
则$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）根据成绩单对数学成绩和物理成绩进行分类填表，计算K²，对照附表1进行判断；
（II）求出回归系数公式求出回归方程，作出结论．

解答 解：（I）2×2列联表：

	数学成绩不优秀	数学成绩优秀	合计
物理成绩不优秀	6	4	10
物理成绩优秀	6	14	20
合计	12	18	30

假设数学成绩优秀与物理成绩优秀有关，
K²=$\frac{30（6×14-6×4）^{2}}{10×20×12×8}$=2.5，
∴由85%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关．
（II）$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{2736}{8480}$≈0.32，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-$$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=80-120×0.32=41.6，
∴y关于x的线性回归方程为y=0.32x+41.6．
据此估计，数学成绩每提高10分，物理成绩约提高3.2分．

点评 本题考察查了线性回归方程的解法和独立性检验的统计思想，属于中档题．