Question

7．已知直角△ABC的一条直角边长是12$\sqrt{14}$，另外两条边长都是整数，那么，这样的直角三角形有4个，其中斜边长最大是505．

Answer 1

分析 设另一条直角边为b，斜边为c，根据勾股定理和因式分解，得到c+b为偶数，c-b为偶数，所以144×14=72×28=56×36=1008×2，问题得以解决．

解答 解，设另一条直角边为b，斜边为c，
因为c²-b²=（c+b）（c-b）=144×14，且c-b＜12$\sqrt{14}$＜45，
设c+b=m，c-n=m，
则c=$\frac{m+n}{2}$，b=$\frac{m-n}{2}$，
又因为144×14为偶数，c，b都是整数，则c+b为偶数，c-b为偶数，
所以144×14=72×28=56×36=1008×2，
当$\left\{\begin{array}{l}{c+b=1008}\\{c-b=2}\end{array}\right.$，解得c=505，b=503，此时斜边最大，
故样的直角三角形有4个，斜边最大为505，
故答案为：4，505．

点评 本题考查了勾股定理和直角三角形的问题，关键是利用好两条边长都是整数，属于中档题．