Question

15．若在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=5，|$\overrightarrow{AC}$|=4，则|5$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=$4\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据条件便可得出△ABC为直角三角形，并可得到$cosB=\frac{3}{5}$，从而得出$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}＞=-\frac{3}{5}$，这样便可得出$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}$的值，从而得出$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$的值．

解答 解：如图，根据条件知，△ABC为Rt△；
∴$cosB=\frac{3}{5}$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}＞=-\frac{3}{5}$；
∴$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}=25{\overrightarrow{AB}}^{2}+10\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$$+{\overrightarrow{BC}}^{2}=25×9-6×15+25=160$；
∴$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{10}$．
故答案为：$4\sqrt{10}$．

点评 考查直角三角形边的关系，余弦函数的定义，向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式，要求$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$而求$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}$的方法．