Question

10．如图，矩形ACEF所在的平面与Rt△ABC所在的平面垂直，D是AF的中点，且AC=BC=AD=$\frac{1}{2}$CE．
（1）证明：DE⊥BC；
（2）求多面体BCDFE与四面体BCDF的体积比．

Answer 1

分析 （1）由已知结合面面垂直的性质可得BC⊥平面ACEF，进而得到BC⊥DE；
（2）由D为AF的中点，得到四边形CEFD与三角形CDF的面积比，进一步得到多面体BCDFE与四面体BCDF的体积比．

解答 （1）证明：如图，
∵平面ACEF⊥平面ABC，平面ACEF∩平面ABC=AC，
又△ABC为直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，
则BC⊥平面ACEF，则BC⊥DE；
（2）解：在矩形ACEF中，∵D为AF的中点，
设矩形ACEF的面积为S，
∴${S}_{△CDF}=\frac{1}{4}S$，而${S}_{四边形CEFD}=\frac{3}{4}S$，
∴$\frac{{S}_{四边形CEFD}}{{S}_{△CDF}}=\frac{\frac{3}{4}S}{\frac{1}{4}S}=3$，
又由（1）知，BC为四棱锥B-CDFE与三棱锥B-CDF的公共高，
∴多面体BCDFE与四面体BCDF的体积比为3：1．

点评 本题考查空间中面面垂直、线面垂直的判断和性质，考查了柱、锥、台体的体积，是中档题．