Question

20．△ABC中，已知角A，B，C所对的边是a，b，c，则下列说法正确的有②③（写出所有正确命题的编号）．
①若a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=30°，则B=60°
②若sinA＞sinB，则a＞b，反之也成立
③若c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，则△ABC一定是直角三角形
④若b²=ac且cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB，则B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 ①若a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=30°，由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于B∈（0°，180°），即可得出；
②由sinA＞sinB，利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即可判断出真假．
③由c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，由正弦定理可得：sin²Csin²B+sin²Bsin²C=2sinBsinCcosBcosC，化为：cos（B+C）=0，即可判断出真假；④若b²=ac，利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC．由cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+cos（A+C），化为：sinAsinC=$\frac{3}{4}$，即可判断出真假．

解答 解：①若a=2，b=2$\sqrt{3}$，A=30°，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}sin3{0}^{°}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（0°，180°），b＞a，
则B=60°或120°，因此不正确．
②若sinA＞sinB，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴a＞b，反之也成立，正确．
③若c²sin²B+b²sin²C=2bccosBcosC，由正弦定理可得：sin²Csin²B+sin²Bsin²C=2sinBsinCcosBcosC，化为：sinBsinC=cosBcosC，
∴cos（B+C）=0，∵0＜B+C＜π，∴B+C=$\frac{π}{2}$，则△ABC一定是直角三角形，正确．
④若b²=ac，则sin²B=sinAsinC．由cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+cos（A+C），化为：sinAsinC=$\frac{3}{4}$．∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B∈（0，π），则B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$，由b²=ac，可知：B不是最大角，因此是锐角，∴B=$\frac{π}{3}$，因此不正确．
综上可得：正确的为②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了正弦定理的应用、三角形内角和定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．