Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$为非零向量，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{d}$，求证|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|?$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，并解释其几何意义．

Answer 1

分析 根据向量垂直的充要条件及数量积的运算便可由$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$得出$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，反过来由$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$可以得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，这样便证出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|?\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，而由向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则即可说明该结论的几何意义．

解答 证明：（1）若$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，则：
$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∴$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
（2）若$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，则：$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
∴综上得，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|?\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
其几何意义为菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．

点评 考查充要条件的证明方法和过程，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，菱形的性质．