Question

16．解方程：
1og₄（3-x）+log${\;}_{\frac{1}{4}}$（3+x）=log₄（1-x）+log${\;}_{\frac{1}{4}}$（2x+1）；（2）log${\;}_{\frac{2}{7}}$（8x-3x²）≤log${\;}_{\frac{2}{7}}$（2x²-5x）．

Answer 1

分析 （1）由各个对数式子有意义可得x的范围，再由由对数的运算转化原方程，解方程验证可得；
（2）由式子有意义可得x范围，由对数的单调性原不等式可化为8x-3x²≥2x²-5x，解不等式取和x的范围取交集可得．

解答 解：（1）由式子有意义可得$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{3+x＞0}\\{1-x＞0}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
由对数的运算原方程可化为1og₄（3-x）+log₄$\frac{1}{3+x}$=log₄（1-x）+log₄$\frac{1}{2x+1}$，
整理可得1og₄$\frac{3-x}{3+x}$=log₄$\frac{1-x}{2x+1}$，即$\frac{3-x}{3+x}$=$\frac{1-x}{2x+1}$，解得x=0或x=7，
结合-$\frac{1}{2}$＜x＜1可得x=0；
（2）由式子有意义可得$\left\{\begin{array}{l}{8x-3{x}^{2}＞0}\\{2{x}^{2}-5x＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{8}{3}$，
由对数的单调性原不等式可化为8x-3x²≥2x²-5x，解得0≤x≤$\frac{13}{5}$，
结合$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{8}{3}$可得$\frac{5}{2}$＜x≤$\frac{13}{5}$，故不等式的解集为（$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{5}$]．

点评 本题考查指对方程不等式的解法，注意函数的定义域并利用函数的单调性是解决问题的关键，属中档题．