Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N₊，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+n-3且（t-a_n+1）（t-a_n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是（-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）．

Answer 1

分析 由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1（n为正奇数）为减函数，最大值为a₁=-$\frac{3}{4}$，函数a_n=3-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）为增函数，最小值为a₂=$\frac{11}{4}$，再由（t-a_n+1）（t-a_n）＜0恒成立求得实数t的取值范围．

解答 解：由S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+n-3，得a₁=-$\frac{3}{4}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+n-3-（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n-1）+3
=（-1）ⁿa_n+（-1）ⁿa_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1，
若n为偶数，则a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1，∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1（n为正奇数）；
若n为奇数，则a_n-1=-2a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1=2（$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1）-$\frac{1}{{2}^{n}}$+1=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=3-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）．
函数a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-1（n为正奇数）为减函数，最大值为a₁=-$\frac{3}{4}$，
函数a_n=3-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）为增函数，最小值为a₂=$\frac{11}{4}$，
若（t-a_n+1）（t-a_n）＜0恒成立，
则a₁＜t＜a₂，即-$\frac{3}{4}$＜t＜$\frac{11}{4}$．
故答案为：（-$\frac{3}{4}$，$\frac{11}{4}$）．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．