Question

20．若点（1，1）到直线xcosα+ysinα=2的距离为d．
（1）若d=$\frac{2}{3}$，求sin2α的值；
（2）求d的最大值．

Answer 1

分析 点（1，1）到直线xcosα+ysinα=2的距离为d．可得d=|cosα+sinα-2|．
（1）d=$\frac{2}{3}$，则$\frac{2}{3}$=|cosα+sinα-2|，可得cosα+sinα=2-$\frac{2}{3}$，两边平方化简即可得出．
（2）d=|cosα+sinα-2|=$|\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）-2|$，即可得出．

解答 解：点（1，1）到直线xcosα+ysinα=2的距离为d．
∴d=$\frac{|cosα+sinα-2|}{\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}}$=|cosα+sinα-2|．
（1）d=$\frac{2}{3}$，则$\frac{2}{3}$=|cosα+sinα-2|，
∴cosα+sinα=2$±\frac{2}{3}$，
∵cosα+sinα=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$$≤\sqrt{2}$，∴cosα+sinα≠2+$\frac{2}{3}$，
∴cosα+sinα=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
两边平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，化为：sin2α=$\frac{7}{9}$．
（2）d=|cosα+sinα-2|=$|\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）-2|$≤$\sqrt{2}$+2．当且仅当$sin（α+\frac{π}{4}）$=-1时取等号．
∴d的最大值为$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了三角函数求值、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．