Question

11．已知y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，且f′（x）=lnx+1，则函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由切线的方程，可得f（1）=0，f′（1）=1，f′（x）=lnx+1，可设f（x）=xlnx+t，求得t=0，求出f（x）的单调区间、极小值，即为最小值．

解答 解：由f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
可得f（1）=0，f′（1）=1，
f′（x）=lnx+1，可设f（x）=xlnx+t，
由f（1）=0，可得t=0，即f（x）=xlnx，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得x=$\frac{1}{e}$，f（x）取得极小值也为最小值，且为-$\frac{1}{e}$．
故答案为：-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．