Question

19．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+2-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB最短时，直线l的方程，并求出最短弦长．

Answer 1

分析 （1）根据直线l：mx-y+2-m=0，恒过D（1，2）点，点在圆C内部，可得结论；
（2）当直线l与CD垂直时，弦AB最短，代入圆的弦长公式，可得答案．

解答 证明：（1）直线l：mx-y+2-m=0可化为：直线l：m（x-1）-y+2=0恒过D（1，2）点，
将D（1，2）代入可得：x²+（y-1）²＜5，
即D（1，2）在圆C：x²+（y-1）²=5内部，
故对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
（2）由（1）可得k_CD=$\frac{2-1}{1-0}$=1，
弦AB最短时，直线l的斜率k=-1，即m=-1，
故此时直线l的方程为-x-y+3=0，即x+y-2=0，
此时圆心C到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的弦长公式|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，是解答的关键．