Question

9．在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两颗考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D的考生恰有4人．
（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数；
（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）先利用频率分布直方图求出该考场考生“科目一”科目中D等级学生所占频率，从而求出“科目一”考试成绩为A的人数，进而能求出“科目二”考试成绩为A的人数．
（2）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答 解：（1）该考场考生“科目一”科目中D等级学生所占频率为：
1-0.2-0.375-0.25-0.075=0.1，
所以该考场人数为4÷0.1=40（人），
于是“科目一”考试成绩为A的人数为40×0.075=3，
“科目二”考试成绩为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3（人）．
（2）因为两科考试中，共有6人次得分等级为A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，即至少有一科成绩为A的学生共有4人．
随机变量X的可能取值为0，1，2，
$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}，P（{X=1}）=\frac{C_2^1•C_2^1}{C_4^2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}，P（{X=2}）=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}$，
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

X的数学期望$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}=1$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．