Question

已知圆C经过点A（-4，0），B（0，4），且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+2与圆C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=-8，求实数k的值；
（Ⅲ）过点（0，2）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（II）利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx-y+2=0的距离，即可求得实数k的值；
（III）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，求得d12+d2=4，根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2

16-d2

，|MN|=2

16-d12

，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．

解答： 解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（-4，0），B（0，4），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+4)2+a2

=

a2+(a-4)2

=r
解得a=0，r=4，
所以圆C的方程是x²+y²=16．
（II）因为

OP

•

OQ

=-8，所以cos∠POQ=-

1

2

，所以∠POQ=120°，
所以圆心到直线l：kx-y+2=0的距离d=2，
又d=

2

k2+1

，所以k=0．
（III）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，根据勾股定理，有d12+d2=4，
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2

16-d2

，|MN|=2

16-d12

所以S=

1

2

×2

16-d2

×2

16-d12

=2

192+d12d2

≤2

192+4

=18
当且仅当d₁=d时，等号成立，所以S的最大值为18．

点评：本题考查圆的标准方程，考查向量的数量积，考查圆的性质，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确表示四边形的面积，属于中档题．