Question

已知向量

m

=（

3

sin

ωx

2

，a），

n

=（acos

ωx

2

，cos²

ωx

2

）且a＞0，f（x）=

m

•

n

．函数f（x）的图象过最大值点（x₀，3）及相邻的最小值点（x₀+π，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α∈（-

π

2

，

π

2

）且f（α）=

3

2

，求

cos(α+ π 6 )

sinα

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=asin（ωx+

π

6

）+

a

2

，由图象特点可得a=2，ω=1，可得解析式；
（2）可得sin（α+

π

6

）=

1

4

，由范围和同角三角函数基本关系可得cos（α+

π

6

），进而可得sinα，代入计算可得．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

sin

ωx

2

，a），

n

=（acos

ωx

2

，cos²

ωx

2

）且a＞0，
∴f（x）=

m

•

n

=

3

asin

ωx

2

cos

ωx

2

+acos²

ωx

2

=

3

2

asinωx+a

1+cos2ωx

2

=asin（ωx+

π

6

）+

a

2

，
又∵f（x）的图象过最大值点（x₀，3）及最小值点（x₀+π，-1），
∴a=2，

π

ω

=π，即ω=1
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）+1
（2）∵f（α）=

3

2

，∴sin（α+

π

6

）=

1

4

，
又∵α∈（-

π

2

，

π

2

）且sin（α+

π

6

）=

1

4

＜

2

2

，
∴0＜α+

π

6

＜

π

4

，
∴cos（α+

π

6

）=

1-sin2(α+ π 6 )

=

15

4

∴sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=

3 - 15

8

∴

cos(α+ π 6 )

sinα

=

15 4

3 - 15 8

=-

5+ 5

2

点评：本题考查三角函数的运算，涉及向量数量积和同角三角函数的基本关系，属中档题．