Question

如图，已知S₁为直线x=0，y=4-t²及y=4-x²所围成的面积，S₂为直线x=2，y=4-t²及y=4-x²所围成图形的面积（t为常数）．
（1）若t=

2

时，求S₂；
（2）若t∈（0，2），求S₁+S₂的最小值．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）利用定积分表示出S₂；
（2）若t∈（0，2），利用定积分表示出S₁+S₂，利用函数的单调性求最小值．

解答： 解：（1）当t=

2

时，S₂=

∫

2 2

[2-（4-x²）]dx=（

1

3

x3-2x）

|

2 2

=

4

3

（

2

-1）．…（5分）
（2）t∈（0，2），S₁=

∫

t 0

[（4-x²）-（4-t²）]dx=（t2x-

1

3

x3）

|

t 0

=

2

3

t3，…（6分）
S₂=

∫

2 t

[（4-t²）-（4-x²）]dx=（

1

3

x3-t2x）

|

t 0

=

8

3

-2t2+

2

3

t3，…（7分）
∴S=S₁+S₂=

4

3

t3-2t2+

8

3

，…（8分）
∴S′=4t（t-1），
令S′=0得t=0（舍去）或t=1，
当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，
当t＞1时，S′＞0，S单调递增，
∴当t=1时，S_min=2．…（13分）

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．