Question

函数f（x）=x³-x²+ax
（1）a=-1，求f（x）在[0，2]的值域；   
（2）f（x）在R上恒增，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到单调区间从而求出函数的最值，问题解决，（2）由f′（x）=3x²-2x+a＞0，得△=4-12a＜0，解出即可．

解答： 解：（1）a=-1时，f（x）=x³-x²-x，
∴f（x）=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜1，
∴f（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
∴f（x）_min=f（1）=-1，
而f（0）=0，f（2）=2，
∴f（x）在[0，2]的值域[-1，2]；
（2）∵f′（x）=3x²-2x+a，
由f（x）在R上恒增，
∴f′（x）=3x²-2x+a＞0，
∴△=4-12a＜0，
∴a＞

1

3

，
故a的范围是：（

1

3

，+∞）．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，参数的范围，是一道基础题．